Kryterium Kelly'ego to wzór, który podpowiada, jaką część kapitału postawić na jeden zakład albo jedną inwestycję, żeby w długim terminie majątek rósł najszybciej. Nie mówi, w co inwestować. Mówi, ile.

W najprostszej wersji wzór wygląda tak: f = p − q / b.

f to część kapitału, którą stawiasz. p to szansa na wygraną, q to szansa na przegraną (czyli 1 − p), a b to ile zarabiasz na każdej postawionej złotówce, jeśli wygrasz.

Przykład. Masz monetę, która wypada orłem w 60% przypadków. Za orła wygrywasz tyle, ile postawiłeś, za reszkę tracisz stawkę. Kelly mówi: 0,6 − 0,4 / 1 = 0,2. Stawiaj 20% kapitału w każdym rzucie.

Jeśli nie masz przewagi, wzór daje zero albo wynik ujemny. Wtedy Kelly mówi, nie graj.

W inwestowaniu często używa się uproszczonej wersji. Oczekiwana nadwyżka ponad stopę wolną od ryzyka podzielona przez wariancję, czyli kwadrat zmienności. Jeśli spodziewasz się 5% ponad stopę wolną od ryzyka przy zmienności 20%, wychodzi 0,05 / 0,04 = 1,25. Czyli 125% kapitału, z lewarem. Już tu widać, jak agresywny potrafi być ten wzór.

Najważniejsza lekcja z Kelly'ego jest taka, że tempo wzrostu majątku nie rośnie bez końca razem ze stawką. Do pewnego punktu większa pozycja daje szybszy wzrost. Powyżej niego zaczyna go zabijać.

Wróćmy do monety. Przy 20% kapitału twój majątek rośnie średnio o około 2% na rzut. Przy 40%, czyli podwójnym Kellym, wzrost spada do zera. Przy jeszcze wyższych stawkach z czasem tracisz prawie wszystko, i to mając przewagę w każdym rzucie.

Dlaczego? Bo straty i zyski nie działają symetrycznie. Po stracie 50% potrzebujesz 100% zysku, żeby wrócić do punktu wyjścia. Duże stawki przyspieszają zyski, ale jeszcze bardziej przyspieszają powstawanie dziur, z których trudno wyjść.

Dlatego praktycy rzadko grają pełnym Kellym. Popularny jest pół-Kelly, czyli połowa wyliczonej stawki. Daje mniej więcej trzy czwarte maksymalnego tempa wzrostu przy dużo łagodniejszych wahaniach. Dla porównania, przy pełnym Kellym szansa, że w którymś momencie twój kapitał spadnie o połowę, wynosi w modelu teoretycznym aż 50%.

Na rynku nie znasz prawdziwego p ani b. Nie ma monety o znanym prawdopodobieństwie. Jest twoja ocena, że spółka jest niedowartościowana, i twoje wyobrażenie, ile może zarobić. A ludzie systematycznie przeceniają swoją przewagę.

To zmienia sposób używania wzoru. Kelly nie jest kalkulatorem, który powie ci, że w spółkę X masz włożyć dokładnie 17,3% portfela. Jest raczej sposobem myślenia. Duża pozycja ma sens tylko wtedy, gdy szansa jest wysoka, a potencjalny zysk wyraźnie większy od możliwej straty. Przy przeciętnym pomyśle wzór od razu podpowiada niską stawkę.

• Błąd w oszacowaniu przewagi prowadzi prosto do zbyt dużych pozycji. Jeśli przeszacujesz szanse, wzór każe ci postawić za dużo, a to najgorszy możliwy kierunek pomyłki.
• Wzór zakłada niezależne zakłady. Spółki w portfelu są ze sobą skorelowane, więc kilka pozycji „po Kellym” w jednej branży to w praktyce jeden ogromny zakład.
• Pełny Kelly oznacza brutalne wahania. Nawet przy prawdziwej przewadze trzeba być gotowym na spadki portfela o kilkadziesiąt procent, których większość ludzi psychicznie nie wytrzyma.
• Kelly optymalizuje bardzo długi termin. Jeśli potrzebujesz pieniędzy za dwa lata albo nie możesz sobie pozwolić na duży spadek, maksymalne tempo wzrostu nie jest twoim celem.
• Wersja z wariancją zakłada rozkład normalny. Prawdziwe rynki mają grube ogony i krachy zdarzają się częściej, niż sugeruje matematyka.

Kryterium Kelly'ego mówi, jaką część kapitału postawić na jeden pomysł, żeby majątek rósł najszybciej w długim terminie. Najcenniejsza lekcja jest taka, że zbyt duże pozycje potrafią zniszczyć kapitał nawet przy realnej przewadze. W praktyce traktuj go jako sposób myślenia, a nie wyrocznię.